Наибольший объемный выход

Этот вопрос вначале рассмотрим применительно к раскрою бревна на обрезные пиломатериалы наибольшей длины.

При теоретическом решении поставленного вопроса следует принять бревно за какое-либо геометрическое тело. Наиболее близка форма бревна к усеченному параболоиду вращения. В этом случае задача сводится к вписыванию в усеченный параболоид нескольких параллелепипедов (досок), которые дадут наибольшую возможную сумму объемов.

В рассматриваемом методе пропилы и прибавки на усушку отдельно не учитываются, а входят в габарит досок; таким образом, рассматривается условное безопилочное деление, с учетом потерь только на рейку и горбыли.

Если бревно принимается за усеченный параболоид, все сечения его плоскостями, параллельными оси параболоида (что соответствует плоскостям пропила в бревне), будут ограничиваться параболами, имеющими, как известно, уравнение, отнесенное к вершине и к оси параболы,

y² = 2 * p * h

• р - параметр параболы;
• h - высота параболы.

Исследуем вначале вопрос о наивыгоднейших размерах длины и ширины крайних боковых досок. На данном рисунке изображен схематический вид усеченного параболоида - бревна, имеющего полную высоту Н, диаметр верхнего основания d и нижнего основания D. На этом же рисунке нанесена выкраиваемая из бревна боковая доска шириной наружной пласти в нижнем основании В. На рисунке показана вертикальная проекция наружной пласти этой доски с высотой параболы H₀, ограничивающей полную наружную пласть.

Поставленная задача рассматривается как вписывание прямоугольника максимальной площади в параболу. Получим следующие выражения:

y = ( 2 * p * h )^1/2

F = 2 * y * h₁ = 2 * y * (H₀ - h) = 2 * (2 * p * h * ( H₀ - h ))^_1/2

• F - площадь прямоугольника;
• h₁ - высота вписанного в параболу прямоугольника, h₁ = Но - h;
• 2у - ширина прямоугольника (укороченной доски).

Для определения максимума находим первую производную и приравниваем ее к нулю:

dF/dh = 0

откуда

h = H₀ / 3

Таким образом, боковые доски должны укорачиваться на длину, составляющую одну треть высоты параболы, ограничивающей наружную пласть доски. Граница между пиломатериалами, подлежащими и не подлежащими укорачиванию, находится по выражению (20), выведенному также анализом на максимум и определяющему ширину зоны ею за пределами которой все доски укорачиваются.

epsilon_K = ( 1.5 * d² - 0.5 * D²)^1/2

где:

• а - диаметр в вершине;
• D - диаметр в комле.

Как видно из этого выражения, величина зоны зависит толь ко от соотношений диаметров d и D и, в частности, для распространенного значения d:D = 0,8 получится

epsilon_K ~= 0.845 * d

Метод нахождения наивыгоднейших размеров толщины досок можно проследить на простейшем случае, Когда постав состоит из одного бруса. При соблюдении правил раскряжевки хлыстов, рассмотренных выше, получаются бревна, у которых длина бруса равна длине бревна. В этом случае брус должен вписываться в цилиндрическую часть бревна, и поставленную задачу можно рассматривать как вписывание в вершинный торец прямоугольника наибольшей возможной площади. Прямоугольник будет представлять сечение наивыгоднейшего бруса с определенным размером искомой толщины.

По условиям спецификаций сырья и пиломатериалов приходится пользоваться поставами с брусьями меньших и больших размеров, однако желательно, чтобы толщина их не выходила за пределы 0,5-0,85 диаметра. Для соблюдения этого условия при наиболее толстом сырье можно применять постава с двумя или тремя брусьями.

Метод, применяемый для нахождения оптимальных размеров досок при поставах с небольшим количеством досок, можно использовать при любом количестве досок. Найденные значения толщины таких досок можно нанести для упрощения расчетов на графики, один из которых, дающий условную толщину досок оптимальных поставов вразвал для двух, трех, четырех и пяти пар досок в поставах, представлен на данном рисунке.

Толщина досок здесь условна по той причине, что в нее, как указывалось выше, входят также пропилы и усушка.

Для использования зоны сбега имеют значение соотношения диаметров d и D, вследствие чего каждый такой график составляется для определенного отношения d: D, в частности, на рассматриваемом рисунке взято наиболее распространенное значение d:D = 0,8.

На графике на основании известного расстояния от внутренней пласти условной доски до оси бревна (для определенного количества досок в поставах) на вертикальной шкале находится по кривым их оптимальная толщина. Размеры толщины наиболее выгодных поставов указаны на кривых кружками. Например, для четырех пар досок в поставе они, начиная от центра, составляют

0,19d / 2 - 0,13d/2 - 0,097d / 2 - 0,088d / 2.

Однако по условиям спецификации пиломатериалов основные центральные доски часто требуются других размеров. В этом случае график позволяет находить относительно оптимальные постава с наибольшим возможным выходом при заданной толщине основных досок. Некоторое изменение толщины средних досок в относительно оптимальных поставах отразится на общих результатах незначительно. Это объясняется тем, что все остальные доски получают новые, наиболее благоприятные для данной совокупности досок размеры; совокупность характеризуется заданным размером средних досок и определенным их количеством в поставе, устанавливаемом из характеристики выполняемой спецификации досок.

Обычно нет необходимости изменять размеры боковых досок, так как они получают сравнительно небольшую толщину - от 32-25 мм и менее, а таких досок в спецификациях обычно имеется достаточно много. Толщина досок может изменяться в пределах между соседними кривыми. Так, для четырех пар досок толщину центральных досок можно взять вместо 0,19 d в промежутке значений для трех и пяти пар досок - от 0,22 d до 0,16 d. Более толстый размер может быть получен либо при переходе на три пары досок, либо брусовкой. Доски тоньше 0,16 d получатся при переходе на пять пар досок.

В рассматриваемом выше оптимальном поставе на четыре пары досок необходимо иметь условную толщину центральных досок не 0,19 d, a 0,22 d. Тогда для нахождения размера следующих досок учитываем, что размер 0,22 d является для этих досок расстоянием от внутренней пласти до оси бревна, и на горизонтали графика находим точку 0,22 d, от которой идем по вертикали до кривой, соответствующей четырем парам досок. Точка пересечения будет соответствовать по вертикальной шкале графика толщине 0,12 d. Нахождение этой доски показано на графике прерывистой линией.

Таким образом, постав в долях диаметра представится в следующем виде:

0,22d/2 - 0,12d/2 - 0,095d/2 - 0,086d/2

Для перехода на практический постав надо от получившихся значений толщины отнять размеры пропила и усушек и принять ближайшие стандартные размеры толщины. Например, для диаметра 24 см последний постав получит следующий вид:

50/2 - 25/2 - 16/2Размеры ширины и длины досок находятся общим порядком, указанным выше: до значения 0,85 d доски имеют длину, равную длине бревна, а за пределами данной зоны они укорачиваются на одну треть высоты, ограничивающей их параболы; ширина досок находится всегда по их наружным пластям по графику-квадранту.Таким же образом можно находить оптимальную толщину боковых досок при брусовочных поставах. Исходным является известное расстояние от внутренней пласти искомой доски до оси бревна; средние доски, вписывающиеся в пласть бруса, берутся в соответствии с требованиями спецификации и по возможности с наиболее полным использованием пласти.

В этом методе расчета оптимальных поставов размер толщины досок выводится из рассмотрения совокупности досок в поставе. Количество досок в поставе - весьма важная характерная величина. Оно непосредственно связано с характеристикой спецификации пиломатериалов. Если в спецификации много тонких досок, то и постава будут содержать большее число таких досок, и наоборот.

Согласование спецификации и поставов в отношении толщин досок и, следовательно, преимущественного числа досок в поставах можно произвести по средней толщине досок в спецификации и поставах. Таким образом, в этом методе можно осуществить тесную связь составляемых поставов с заданной спецификацией досок.Для получения заготовок, укороченных по сравнению с досками, в ряде случаев выгодно выпускать после рам необрезные доски и сначала перерезать их по длине, а затем обрезать по ширине.

Этот способ особенно применим при получении коротких заготовок разной ширины из боковых досок с большим сбегом. В последнем случае показатель объемного использования сырья будет улучшен по сравнению с раскроем необрезных досок на наибольшую возможную длину.